Lineare Transformation
                            ▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀
                       gaußverteilter Zufallsvariabler
                       ▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀

      Ein n-dimensionaler gaußverteilter Zufallsvektor y habe die
      Wahrscheinlichkeitsdichte f(y):

          ┌────────────────────────────────────────────┐
          │     Gaußsche Wahrscheinlichkeitsdichte     │
          │                                            │
          │        ┌        ┐½      ┌      T         ┐ │
          │        │   │P│  │    -½∙│(y-y^) ∙P∙(y-y^)│ │             (1)
          │ f(y) = │ ────── │ ∙ e   └                ┘ │
          │        │ (2∙π)ⁿ │                          │
          │        └        ┘                          │
          └────────────────────────────────────────────┘  ,

      mit dem Erwartungswert:

          ┌───────────┐
          │ E(y) ≡ y^ │                                              (2)
          └───────────┘

      und der Gewichtsmatrix P, die die Inverse der Kovariansmatrix Cy
      ist:

          ┌────────────────────────────────┐
          │       ┌              T ┐    -1 │
          │ Cy = E│ (y-y^)∙(y-y^)  │ = P   │                         (3)
          │       └                ┘       │
          └────────────────────────────────┘  .

      Allgemein ist die charakteristische Funktion Φ(t) einer beliebigen
      Wahrscheinlichkeitsdichte f(y) ihre Fouriertransformierte, was
      auch durch den Erwartungswert E des Ausdrucks

              T
           i∙t ∙y
          e

      beschrieben werden kann:

          ┌─────────────────────────────────────────────────┐
          │ Charakteristische Funktion Φ(t) der Dichte f(y) │
          │                                                 │
          │             ┌     T   ┐         T               │
          │             │  i∙t ∙y │   ⌠  i∙t ∙y             │        (4)
          │    Φ(t) := E│ e       │ = │ e      ∙f(y)∙dⁿy    │
          │             └         ┘   ⌡                     │
          │                           Rⁿ                    │
          └─────────────────────────────────────────────────┘ .

      Bestimmen wir die charakteristische Funktion zur Gaußschen
      Wahrscheinlichkeitsdichte:

                 ┌        ┐½        T         ┌      T         ┐
                 │   │P│  │   ⌠  i∙t ∙y    -½∙│(y-y^) ∙P∙(y-y^)│
          Φ(t) = │ ────── │ ∙ │ e       ∙ e   └                ┘ ∙dⁿy  .
                 │ (2∙π)ⁿ │   ⌡
                 └        ┘   Rⁿ

      Mit der Substitution

                 ½                  -½                    -½
          u   = P ∙(y-y^) ,  y   = P  ∙u + y^ ,  dⁿy = │P│  ∙dⁿu

      folgt:

                 ┌        ┐½        T ┌ -½       ┐       ┌  T   ┐
                 │    1   │   ⌠  i∙t ∙│P  ∙u + y^│    -½∙│ u ∙u │
          Φ(t) = │ ────── │ ∙ │ e     └          ┘ ∙ e   └      ┘ ∙dⁿu
                 │ (2∙π)ⁿ │   ⌡
                 └        ┘   Rⁿ

                 T
              i∙t ∙y^         ┌  T          T  -½   ┐
             e          ⌠  -½∙│ u ∙u - 2∙i∙t ∙P  ∙u │
          = ───────── ∙ │ e   └                     ┘ ∙dⁿu
            ┌      ┐½   ⌡
            │(2∙π)ⁿ│    Rⁿ
            └      ┘

                 T
              i∙t ∙y^       ┌      -½   T       -½       T  -1  ┐
             e        ⌠  -½∙│(u-i∙P  ∙t) ∙(u-i∙P  ∙t) + t ∙P  ∙t│
          = ─────────∙│ e   └                                   ┘ ∙dⁿu
            ┌      ┐½ ⌡
            │(2∙π)ⁿ│  Rⁿ
            └      ┘

                T       T  -1
             i∙t ∙y^-½∙t ∙P  ∙t       ┌      -½   T       -½   ┐     (5)
            e                   ⌠  -½∙│(u-i∙P  ∙t) ∙(u-i∙P  ∙t)│
          = ───────────────────∙│ e   └                        ┘∙dⁿu .
                 ┌      ┐½      ⌡
                 │(2∙π)ⁿ│       Rⁿ
                 └      ┘

      Da das Integral gleich √((2∙π)ⁿ) ist, zur Integration von (5)
      siehe Anhang, erhält man schließlich als charakteristische
      Funktion der Gaußdiche:

          ┌───────────────────────────────────────────┐
          │ Charakteristische Funktion der Gaußdichte │
          │                                           │
          │         ┌     T   ┐       T        T      │              (6)
          │         │  i∙t ∙y │    i∙t ∙y^ -½∙t ∙Cy∙t │
          │ Φ(t) = E│ e       │ = e                   │  ┌       -1 ┐
          │         └         ┘                       │  │ Cy = P   │
          └───────────────────────────────────────────┘  └          ┘ .

      Die Umkehrtransformation der charakteristischen Funktion lautet:

          ┌────────────────────────────────────┐
          │      Umkehrtransformation der      │
          │     charakteristische Funktion     │
          │                                    │
          │                       T            │
          │          1     ⌠  -i∙y ∙t          │                     (7)
          │ f(y) = ────── ∙│ e       ∙Φ(t)∙dⁿt │
          │        (2∙π)ⁿ  ⌡                   │
          │                Rⁿ                  │
          └────────────────────────────────────┘  .

      Setzen wir die charakteristische Funktion der Gaußdichte ein, um
      die Rücktransformation durchzuführen:

                                T        T        T
                   1     ⌠  -i∙y ∙t + i∙t ∙y^ -½∙t ∙Cy∙t
          f(y) = ────── ∙│ e                            ∙dⁿt
                 (2∙π)ⁿ  ⌡
                         Rⁿ

                          ┌ T            T       ┐
              1     ⌠  -½∙│t ∙Cy∙t +2∙i∙t ∙(y-y^)│
          = ────── ∙│ e   └                      ┘ ∙dⁿt ,
            (2∙π)ⁿ  ⌡
                    Rⁿ

          und mit der Substitution

                ½           ½               ½
          x = Cy ∙t ,  t = P ∙x ,  dⁿt = │P│ ∙dⁿx

      folgt

                     ½         ┌ T         T  ½       ┐
                  │P│    ⌠  -½∙│x ∙x +2∙i∙x ∙P ∙(y-y^)│
          f(y) = ────── ∙│ e   └                      ┘ ∙dⁿx
                 (2∙π)ⁿ  ⌡
                         Rⁿ

                ½
             │P│
          = ──────
            (2∙π)ⁿ

                ┌      ½        T       ½               T         ┐
           ⌠ -½∙│(x+i∙P ∙(y-y^)) ∙(x+i∙P ∙(y-y^))+(y-y^) ∙P∙(y-y^)│
          ∙│e   └                                                 ┘ ∙dⁿx
           ⌡
           Rⁿ

                ½            T
             │P│    -½∙(y-y^) ∙P∙(y-y^)
          = ──────∙e
            (2∙π)ⁿ

                ┌      ½        T       ½        ┐
           ⌠ -½∙│(x+i∙P ∙(y-y^)) ∙(x+i∙P ∙(y-y^))│
          ∙│e   └                                ┘ ∙dⁿx  ,
           ⌡
           Rⁿ

      und da der Integralterm den Wert √((2∙π)ⁿ) hat (analog zu (5),
      siehe Anhang), folgt:

                 ┌        ┐½           T
                 │   │P│  │   -½∙(y-y^) ∙P∙(y-y^)
          f(y) = │ ────── │ ∙e                     ,
                 │ (2∙π)ⁿ │
                 └        ┘

      so daß wir offenbar wieder die Gaußdichte erhalten haben.

      Die Fouriertransformation ist umkehrbar eindeutig. Wir benutzen
      sie, um einige Aussagen über lineare Transformationen von
      gaußverteilten Größen zu gewinnen.

                                  *   *   *

      Um zu zeigen, daß eine lineare Transformation eines gaußverteilten
      Zufallsvektors y (mit Kovarianzmatrix Cy) wieder gaußverteilt ist,
      betrachten wir die lineare Transformation

           T    T                 T
          t  = s ∙A   bzw.   t = A ∙s  ,

      dabei sei A eine mxn-Matrix, mit vollem Zeilenrang m.  Führt man
      diese Transformation in die charakteristische Funktion der
      Gaußdichte (6) ein, so folgt:

           ┌     T     ┐       T          T       T
           │  i∙s ∙A∙y │    i∙s ∙A∙y^ -½∙s ∙A∙Cy∙A ∙s
          E│ e         │ = e                            ,
           └           ┘

      und es ist ersichtlich, daß man offenbar die charakteristische
      Funktion Φ(s) einer Gaußdichte des Zufallsvektors x := A∙y erhält:

                  ┌     T   ┐       T        T
                  │  i∙s ∙x │    i∙s ∙x^ -½∙s ∙Cx∙s
          Φ(s) = E│ e       │ = e                     ,
                  └         ┘

      so daß also gilt:

          ┌───────────────────────────────────────────────┐
          │ Ein gaußverteilter Zufallsvektor y habe den   │
          │ Erwartungswert y^ und die Kovarianzmatrix Cy. │
          │ Die lineare Transformation x := A∙y (A eine   │
          │ Matrix mit vollem Zeilenrang) ist wieder      │
          │ gaußverteilt und es gilt:                     │
          │                                       T       │
          │  x = A∙y ,   x^ = A∙y^ ,   Cx = A∙Cy∙A        │
          └───────────────────────────────────────────────┘  .

                                    Anhang
                                    ------

                      Die Integration des Integrals (5)
                      ---------------------------------

      Das Integral aus (5) lautet:

                    ┌      -½   T       -½   ┐
              ⌠  -½∙│(u-i∙P  ∙t) ∙(u-i∙P  ∙t)│
          I = │ e   └                        ┘∙dⁿu
              ⌡
              Rⁿ

                    ┌       T        ┐
              ⌠  -½∙│(u-i∙r) ∙(u-i∙r)│
            = │ e   └                ┘∙dⁿu mit r = const. und reell, (8)
              ⌡
              Rⁿ

      was genauer auch so geschrieben werden kann:

                  ┌       +u                                ┐
                  │         h    ┌         T          ┐     │
               n  │        ⌠  -½∙│(u -i∙r ) ∙(u -i∙r )│     │
          I =  π  │  lim   │ e   └  h    h     h    h ┘∙du  │ .
              h=1 │ u -> ∞ ⌡                              h │
                  │  h    -u                                │
                  └         h                               ┘

      Mit der Substitution:

          z  = u  -i∙r , dz  = du  , u  und r  reell, folgt:
           h    h     h    h     h    h      h

                  ┌         +u -i∙r                  ┐
                  │           h    h     ┌    ┐      │
               n  │            ⌠      -½∙│ z² │      │
          I =  π  │  lim       │     e   └  h ┘ ∙dz  │ .             (9)
              h=1 │ u -> ∞     ⌡                   h │
                  │  h      -u -i∙r                  │
                  └           h    h                 ┘

      Die Integration der einzelnen Integrale in (9) erfolgt jetzt über
      die komplexe Ebene, und wir sehen zudem, daß wir nur ein Integral
      für eine Dimension zu lösen brauchen, dann ist die Gesamtlösung
      gleich der n-ten Potenz dieser Einzellösung.  Betrachten wir das
      eindimensionale Integral J:

                      +a -i∙b
                         ⌠      -½∙v²
          J =  lim       │     e     ∙dv  mit a und b reell.
              a -> ∞     ⌡
                      -a -i∙b

      Da die e-Funktion holomorph ist, kann der Integrationsweg von
      (-a-i∙b) bis (+a-i∙b) beliebig gewählt werden; wir zerlegen die
      Integration in drei Teile:

          J = J1 + J2 + J3 ,

                         -a
                          ⌠      -½∙v²
          J1 =  lim       │     e     ∙dv  (parallel zur imagin. Achse),
               a -> ∞     ⌡
                       -a -i∙b

                         +a
                          ⌠      -½∙v²
          J2 =  lim       │     e     ∙dv  (entlang der reellen Achse),
               a -> ∞     ⌡
                         -a

                       +a -i∙b
                          ⌠      -½∙v²
          J3 =  lim       │     e     ∙dv  (parallel zur imagin. Achse).
               a -> ∞     ⌡
                         +a

      Wir werden nun zeigen, daß J1 und J3 gleich null sind. Ohne
      Einschränkung der Allgemeinheit betrachten wir J1:

      Führen wir als neue Integrationsvariable w ein:

          w  = -i∙(v + a) bzw. v = -a + i∙w,
          w1 = -i∙(-a -i∙b +a) = -b (reell!),
          w2 = -i∙(-a+a) = 0,
          dv =  i∙dw,

      so erhalten wir:

                        0
                        ⌠  -½∙(-a + i∙w)²
          J1 =  lim   i∙│ e              ∙dw
               a -> ∞   ⌡
                       -b

                        0
                        ⌠  -½∙{a²-w²-2∙i∙(a∙w+π/2)}    ┌        i∙π/2 ┐
             =  lim     │ e                        ∙dw │ mit i=e      │
               a -> ∞   ⌡                              └              ┘
                       -b

                        0
                        ⌠  -½∙(a²-w²)  i∙(a∙w+π/2)
             =  lim     │ e          ∙e           ∙dw .
               a -> ∞   ⌡
                       -b

      Die Integration kann entlang des reellen Weges von -b bis 0
      erfolgen, w und dw sind dann reell.

      Der Betrag von J1 ist:

                 │        0                             │
                 │        ⌠  -½∙(a²-w²)  i∙(a∙w+π/2)    │
          |J1| = │  lim   │ e          ∙e           ∙dw │
                 │ a -> ∞ ⌡                             │
                 │       -b                             │

                        0
                        ⌠ │  -½∙(a²-w²)  i∙(a∙w+π/2)│
               ≤  lim   │ │ e          ∙e           │∙dw
                 a -> ∞ ⌡ │                         │
                       -b

                        0
                        ⌠ │  -½∙(a²-w²) │ │  i∙(a∙w+π/2)│
               =  lim   │ │ e           │∙│ e           │∙dw
                 a -> ∞ ⌡ │             │ │             │
                       -b

                        0
                        ⌠  -½∙(a²-w²)
               =  lim   │ e          ∙dw  = 0 .
                 a -> ∞ ⌡
                       -b

      Also bleibt nur das Integral J2 übrig, dessen Wert aber bekannt
      ist, es gilt:

               +∞
                ⌠  -½∙v²           ½
          J2 =  │ e     ∙dv = (2∙π)  ,
                ⌡
               -∞

      so daß wir für I schließlich erhalten:

              ┌      ┐½
          I = │(2∙π)ⁿ│  , was zu zeigen war.
              └      ┘