Die Länge der Archimedischen Spirale
                     ▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀

      In Polarkoordinaten R,Φ lautet die Gleichung der Archimedischen
      Spirale:

          R(Φ) = a∙Φ   mit  a∙Φ > 0  ,                               (1)

      für die zwei möglichen Äste, der eine wird für a > 0 und Φ > 0
      durchlaufen, der zweite für a < 0 und Φ < 0.  In radialer Richtung
      ist der Zuwachs pro Umlauf gleich 2∙π∙a.  Die Länge dieser Spirale
      findet man in vielen Formelsammlungen oder in gängigen
      mathematischen Taschenbüchern.  Die Herleitung der Länge sei hier
      beschrieben.

      Allgemein ist die Länge einer Kurve R = R(Φ) im Winkelbereich von
      0 bis Φ gegeben durch:

              Φ
              ⌠ ┌                  ┐½
          L = │ │ R²(Φ) + (dR/dΦ)² │ ∙dΦ   .                         (2)
              ⌡ └                  ┘
              0

      Die Ableitung von (1) lautet:

          dR/dΦ = a   .                                              (3)

      Setzen wir die Funktion der Archimedischen Spirale (1) und ihre
      Ableitung (3) in (2) zur Bestimmung der Länge ein, so folgt:

              Φ
              ⌠             ½
          L = │ (a²∙Φ² + a²) ∙dΦ
              ⌡
              0

                 Φ
                 ⌠         ½
            = a∙ │ (1 + Φ²) ∙dΦ
                 ⌡
                 0

              a ┌           ½           ┐Φ
            = ─∙│ Φ∙(1 + Φ²)  + arsh(Φ) │
              2 └                       ┘0

              a ┌           ½           ┐
            = ─∙│ Φ∙(1 + Φ²)  + arsh(Φ) │  ,
              2 └                       ┘

          ┌────────────────────────────────────┐
          │        a ┌           ½           ┐ │
          │ L(Φ) = ─∙│ Φ∙(1 + Φ²)  + arsh(Φ) │ │                     (4)
          │        2 └                       ┘ │
          └────────────────────────────────────┘   .