Chi²-Verteilung für k Freiheitsgrade
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Wir gehen aus von der eindimensionalen standardisierten
Gaußdichte, die Erwartungswert 0 und Streuung 1 hat:
dW 1 -½∙x²
── = f(x) = ────── ∙e . (1)
dx √(2∙π)
Das Integral über x von -∞ bis +∞ von f(x) ist gleich 1. Gesucht
wird nun die Wahrscheinlichkeitsdichte g(u) der Größe
u := x² . (2)
Die zugehörige Verteilungsfunktion zu g(u) ist die eindimensionale
Chi²-Verteilung, man nennt sie auch "Chi²-Verteilung mit einem
Freiheitsgrad".
Betrachten wir zunächst die Wahrscheinlichkeitsdichte h(w) der
Zufallsvariablen w = |x|, x aus der Gausßdichte (1), sie ist:
dW 2 -½∙x²
── = h(w) = 2∙f(|x|) = ────── ∙e für x ≥ 0, 0 sonst. (3)
dw √(2∙π)
Beschränken wir uns auf den Bereich x > 0, so gilt nach (2):
du
x = √u, dx = ──── für u > 0 . (4)
2∙√u
Nun folgt für die Wahrscheinlichkeitsdichte g(u) der Größe u:
-½∙x² -½∙u
dW dW dx 1 e 1 e
── = g(u) = 2∙──∙── = ──────∙──────∙du = ──────∙─────∙du,
du dx du √(2∙π) √u √(2∙π) √u
┌──────────────────────────────────────────┐
│ ┌ -½∙u │
│ │ 1 e │
│ dW │ ──────∙───── für u > 0 │
│ ── = g(u) = ┤ √(2∙π) √u │ (5)
│ du │ │
│ │ 0 sonst (Definition) │
│ └ │
└──────────────────────────────────────────┘ .
Bestimmen wir nun die charakteristische Funktion Φ(t) zu (5), was
nichts anderes als der Erwartungswert E des Ausdrucks exp(i∙t∙u)
ist:
+∞ -½∙u
⌠ i∙t∙u 1 e
Φ(t) = E(exp(i∙t∙u)) = │ e ∙──────∙───── ∙du ,
⌡ √(2∙π) √u
u=0
+∞ -½∙u∙(1-2∙i∙t)
1 ⌠ e
Φ(t) = ──────∙ │ ─────────────────∙du . (6)
√(2∙π) ⌡ √u
u=0
Setzt man als neue Integrationsvariable v = (1-2∙i∙t)∙u/2, so
folgt:
u 2∙dv du √2∙dv
v = (1-2∙i∙t)∙─ , du = ───────── , ── = ───────────── ,
2 (1-2∙i∙t) √u ½ ½
v ∙(1-2∙i∙t)
(½-i∙t)∙u -v
1 ⌠ e
Φ(t) = ──∙ lim │ ─────────────∙dv ,
√π u-->+∞ ⌡ ½ ½
v=0 v ∙(1-2∙i∙t)
(½-i∙t)∙u -v
1 ⌠ e
Φ(t) = ─────────────∙ lim │ ───∙dv . (7)
½ u-->+∞ ⌡ ½
(1-2∙i∙t) ∙√π v=0 v
Die Integration verläuft in der komplexen Ebene vom Ursprung
entlang einer Geraden in der rechten Halbebene, da t bezüglich der
Integration eine Konstante ist. Setzt man:
u i∙Θ u ½
z = (1-2∙i∙t)∙─ = r∙e mit r = ─∙(1+4∙t²) und
2 2
-π +π
Θ = arctan(-2∙t,1) , so daß ── < Θ < ── ,
2 2
so können wir auch schreiben:
i∙Θ
r∙e -v
1 ⌠ e -π +π
Φ(t) = ─────────────∙ lim │ ───∙dv mit ── < Θ < ──.(8)
½ r-->+∞ ⌡ ½ 2 2
(1-2∙i∙t) ∙√π v=0 v
Da die Funktion exp(-v)/√v eine holomorphe Funktion ist, ist der
Wert des Integrals von der Wahl des Integrationsweges in der
rechten Halbebene der komplexen Ebene nach dem Chauchyschen
Integralsatz unabhängig. Wir führen die Integration von z1 = 0
entlang der x-Achse bis z' = r (r > 0), und dann weiter von z'
entlang des im Ursprung zentrierten Kreisbogens mit Radius r bis
zum Winkel Θ (-π/2 < Θ ≤ π/2), also bis z2 = r∙exp(i∙Θ) durch.
Betrachten wir zunächst das Integral von z' = r entlang des im
Zentrum zentrierten Kreisbogens bis zum Winkel Θ, also das
folgende Integral (bei festem r):
i∙Θ
r∙e -v
⌠ e
│ ───∙dv . (9)
⌡ ½
v=0 v
Setzen wir für v:
i∙α i∙α
v = r∙e , dv = i∙r∙e ∙dα , so können wir das Integral
so schreiben:
Θ
⌠ ½ -r∙cos(α) -i∙r∙sin(α) + i∙α/2 + π/2
│ r ∙e ∙dα ,
⌡
α=0
Θ
⌠ ½ -r∙cos(α) i∙{-r∙sin(α) + α/2 + π/2}
│ r ∙e ∙e ∙dα . (10)
⌡
α=0
┌────────────────────────────────────────────┐
│ Zwischenbemerkung │
│ │
│ Nach der Dreiecksungleichung gilt: │
│ │
│ | z1 + z2 | ≤ |z1| + |z2| , und es folgt │
│ │
│ allgemeiner: │
│ │
│ │ n │ n │
│ │ Σ zj │ ≤ Σ |zj| , und damit kann man │
│ │ j=1 │ j=1 │
│ │
│ zeigen, daß gilt: │
│ │
│ ┌──────────────────────────────┐ │
│ │ │ w │ w │ │
│ │ │ ⌠ │ ⌠ │ │
│ │ │ │ f(z)∙dz │ ≤ │ |f(z)∙dz| │ │
│ │ │ ⌡ │ ⌡ │ │
│ │ │ v │ v │ │
│ └──────────────────────────────┘ . │
└────────────────────────────────────────────┘
Für den Betrag von (9) bzw. (10) gilt nun, da |exp(i∙{...})| = 1:
│ i∙Θ │
│ r∙e -v │ Θ
│ ⌠ e │ ⌠ ½ -r∙cos(α)
│ │ ───∙dv │ ≤ │ r ∙e ∙dα .
│ ⌡ ½ │ ⌡
│ 0 v │ α=0
Läßt man nun r gegen unendlich gehen, so geht im Grenzfall, da
cos(α) > 0 für alle Winkel |α| < π/2 , der Wert des Integrals auf
dem Kreisbogen offenbar gegen null. Damit bleibt also nur die
Integration entlang der reellen x-Achse von 0 bis r (für r --> ∞)
übrig, und es gilt:
∞ -x
⌠ e 2
Φ(t) = │ ───∙dx , was mit x = ½∙y , dx = y∙dy ergibt:
⌡ √x
x=0
∞ -½∙y² ∞
⌠ e ⌠ -½∙y² √(2∙π)
Φ(t) = │ √2∙──────∙y∙dy = √2∙ │ e ∙dy = √2∙────── = √π ,
⌡ y ⌡ 2
y=0 y=0
wir erhalten daher mit (8) als charakteristische Funktion der
X²-Verteilung mit einem Freiheitsgrad:
┌─────────────────────┐
│ 1 │
│ Φ(t) = ──────────── │ (11)
│ ½ │
│ (1 - 2∙i∙t) │
└─────────────────────┘ .
Um die Chi²-Verteilung allgemein für k ≥ 1 Freiheitsgrade zu
bestimmen, bedienen wir uns folgenden Satzes:
Die charakteristische Funktion Φs(t) der Wahrscheinlichkeitsdichte
einer Summe von k statistisch unabhängigen Zufallsvariablen pj,
j = 1,...k, ist gleich dem Produkt der einzelnen
charakteristischen Funktionen Φj(t) der Wahrscheinlichkeitsdichten
fj(x), j = 1,...k.
Also:
┌ k ┐ ┌ ┐
│ i∙t∙ Σ pj │ k │ i∙t∙pj │ k
Φs(t) = E │ e j=1 │ = π E │ e │ = π Φj(t). (12)
└ ┘ j=1 └ ┘ j=1
Daher lautet die charakteristische Funktion Φk(t) der
Chi²-Verteilung für k Freiheitsgrade mit (11) und (12):
┌────────────────────────┐
│ 1 │
│ Φk(t) = ────────────── │ (13)
│ k/2 │
│ (1 - 2∙i∙t) │
└────────────────────────┘ .
Wir werden nun die Umkehrtransformation der Fouriertransformierten
auf Φk(t) anwenden, um die Wahrscheinlichkeitsdichte der
Chi²-Verteilung Φk(x1²+...+xk²) für k Freiheitsgrade zu gewinnen.
(Die xj, j=1,...k sind statistisch unabhängige Variablen aus der
standardisieren Gaußdichte.)