Klothoide und Fresnelintegrale
                        ▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀

      Bevor wir zur Beschreibung der Klothoide kommen, soll zuerst der
      Grenzwert der Fresnelintegrale bestimmt werden.

      1) Die Fresnelintegrale und ihr Grenzwert
         ──────────────────────────────────────

      Die Fresnelschen Integrale lauten:

          ┌───────────────────────────────────────────────────┐
          │        s                          s               │
          │        ⌠                          ⌠               │
          │ C(s) = │ cos(a²∙x²)∙dx  ,  S(s) = │ sin(a²∙x²)∙dx │      (1)
          │        ⌡                          ⌡               │
          │        0                          0               │
          │                  (s, a, x reell)                  │
          └───────────────────────────────────────────────────┘ .

      Man kann zeigen, daß diese Integrale für s --> ∞ konvergieren.
      Dazu betrachtet man den Wert J des komplexen Integrals der
      Funktion f(z) = exp(-a²∙z²) entlang eines Weges in der komplexen
      Zahlenebene von z1 = 0 bis z2 = r∙exp(i∙Φ):

               i∙Φ
            r∙e
              ⌠  -a²∙z²
          J = │ e      ∙dz .                                         (2)
              ⌡
              0

      Da die Funktion exp(-a²∙z²) eine regulär analytische Funktion ist,
      ist der Wert des Integrals nach dem Chauchyschen Integralsatz von
      der Wahl des Weges unabhängig.  Wir führen die Integration von
      z1 = 0 entlang der x-Achse bis z' = r (r > 0), und dann weiter von
      z' entlang des im Ursprung zentrierten Kreisbogens mit Radius r
      bis zum Winkel Φ (0 < Φ ≤ π/4), d. h.  bis z2 = r∙exp(i∙Φ) durch.

      Für das Integral (3) über den Kreisbogen:

             i∙Φ
          r∙e
            ⌠  -a²∙z²
            │ e      ∙dz                                             (3)
            ⌡
            r

      gilt mit der Substitution (für festes r)

                 i∙α             i∙α
          z = r∙e    , dz = i∙r∙e   ∙dα  :                           (4)

             i∙Φ
          r∙e
            ⌠  -a²∙z²
            │ e      ∙dz                                             (3)
            ⌡
            r

                 Φ
                 ⌠  -a²∙r²∙cos(2∙α) - a²∙r²∙i∙sin(2∙α)  i∙α
           = i∙r∙│ e                                  ∙e   ∙dα
                 ⌡
                α=0

               Φ
               ⌠  -a²∙r²∙cos(2∙α)  i∙{-a²∙r²∙sin(2∙α)+α+π/2}
           = r∙│ e               ∙e                         ∙dα .    (5)
               ⌡
              α=0

              ┌────────────────────────────────────────────┐
              │             Zwischenbemerkung              │
              │                                            │
              │ Nach der Dreiecksungleichung gilt:         │
              │                                            │
              │ | z1 + z2 | ≤ |z1| + |z2| ,  und es folgt  │
              │                                            │
              │ allgemeiner:                               │
              │                                            │
              │ │  n    │    n                             │
              │ │  Σ zi │ ≤  Σ |zi| ,  und damit kann man  │
              │ │ i=1   │   i=1                            │
              │                                            │
              │ zeigen, daß gilt:                          │
              │                                            │
              │      ┌──────────────────────────────┐      │
              │      │  │ w         │   w           │      │
              │      │  │ ⌠         │   ⌠           │      │
              │      │  │ │ f(z)∙dz │ ≤ │ |f(z)∙dz| │      │
              │      │  │ ⌡         │   ⌡           │      │
              │      │  │ v         │   v           │      │
              │      └──────────────────────────────┘ .    │
              └────────────────────────────────────────────┘

      Für den Betrag von (3) bzw. (5) gilt deshalb, da
      |exp(i∙{...})| = 1 :

          │    i∙Φ         │
          │ r∙e            │     Φ
          │   ⌠  -a²∙z²    │     ⌠  -a²∙r²∙cos(2∙α)
          │   │ e      ∙dz │ ≤ r∙│ e               ∙dα .             (6)
          │   ⌡            │     ⌡                                     
          │   r            │    α=0

      Läßt man nun r gegen unendlich gehen, so geht im Grenzfall der
      Wert des Integrals auf dem Kreisbogen offenbar gegen null.  Damit
      bleibt also nur die Integration entlang der reellen x-Achse von 0
      bis r (für r --> ∞) übrig, und es gilt:

                   i∙Φ
                r∙e                     r
                  ⌠  -a²∙z²             ⌠  -a²∙x²      √π
           lim  = │ e      ∙dz =  lim   │ e      ∙dx = ───  .        (7)
          r-->∞   ⌡              r-->∞  ⌡              2∙a
                  0                    x=0

      Führt man in das Integral (2) die Substitution:

                 i∙Φ         i∙Φ              -i∙Φ
          z = t∙e    , dz = e   ∙dt ,  t = z∙e    :                  (8)

      ein (für festes Φ), so erhält man:

             i∙Φ
          r∙e                   r
            ⌠  -a²∙z²       i∙Φ ⌠  -a²∙t²∙{cos(2∙Φ) + i∙sin(2∙Φ)}
            │ e      ∙dz = e   ∙│ e                              ∙dt ,
            ⌡                   ⌡
            0                   0

                   i∙Φ
                r∙e              r                                   (9)
           -i∙Φ   ⌠  -a²∙z²      ⌠  -a²∙t²∙{cos(2∙Φ) + i∙sin(2∙Φ)}
          e    ∙  │ e      ∙dz = │ e                              ∙dt.
                  ⌡              ⌡
                  0              0

      Wir führen nun den Grenzübergang r --> ∞ durch, mit (7) folgt:

                       ∞
           -i∙Φ  √π    ⌠  -a²∙t²∙{cos(2∙Φ) + i∙sin(2∙Φ)}
          e    ∙ ─── = │ e                              ∙dt .       (10)
                 2∙a   ⌡
                       0

      Die Linke Seite von (10) kann man schreiben als (10L):

                              √π
          {cos(Φ) - i∙sin(Φ)}∙───  .                               (10L)
                              2∙a

      Die rechte Seite von (10) kann man schreiben als (10R):

          ∞
          ⌠  -a²∙t²∙cos(2∙Φ)  -i∙a²∙t²∙sin(2∙Φ)
          │ e               ∙e                 ∙dt  =
          ⌡
          0

      ∞                                                            (10R)
      ⌠  -a²∙t²∙cos(2∙Φ)
      │ e              ∙[cos{a²∙t²∙sin(2∙Φ)}-i∙sin{∙a²∙t²∙sin(2∙Φ)}]∙dt.
      ⌡
      0

      Wenn man nun den jeweiligen Real- und Imaginärteil von (10)
      - unter Benutzung von (10R) und (10L) - trennt, so erhält man:

                   ∞
             √π    ⌠  -a²∙t²∙cos(2∙Φ)
      cos(Φ)∙─── = │ e               ∙cos{a²∙t²∙sin(2∙Φ)}∙dt ,      (11)
             2∙a   ⌡
                   0

                   ∞
             √π    ⌠  -a²∙t²∙cos(2∙Φ)
      sin(Φ)∙─── = │ e               ∙sin{a²∙t²∙sin(2∙Φ)}∙dt .      (12)
             2∙a   ⌡
                   0

      Setzt man in diesen Formeln Φ = π/4, so erhält man:

          ┌────────────────────────────┐
          │ ∞                   ┌   ┐½ │
          │ ⌠                 1 │ π │  │
          │ │ cos(a²∙t²)∙dt = ─∙│ ─ │  │
          │ ⌡                 a │ 8 │  │
          │ 0                   └   ┘  │
          │                            │                            (13)
          │ ∞                   ┌   ┐½ │
          │ ⌠                 1 │ π │  │
          │ │ sin(a²∙t²)∙dt = ─∙│ ─ │  │
          │ ⌡                 a │ 8 │  │
          │ 0                   └   ┘  │
          └────────────────────────────┘ .

      2) Die Klothoide oder Cornu-Spirale
         ────────────────────────────────

      Die Klothoide ist eine Kurve in der Ebene, in kartesischen
      Koordinaten lautet die Parameterdarstellung :

          ┌──────────────────────────────┐
          │ Klothoide oder Cornu-Spirale │
          │        ┌      ┐     ┌      ┐ │
          │        │ X(t) │     │ C(t) │ │
          │ W(t) = │      │ = b∙│      │ │                          (14)
          │        │ Y(t) │     │ S(t) │ │
          │        └      ┘     └      ┘ │
          └──────────────────────────────┘  .

      Die Länge L(t) der Kurve vom Ursprung ist:

                 t
                 ⌠ ┌ .2   .2 ┐½
          L(t) = │ │ X  + Y  │ ∙dt  ,
                 ⌡ └         ┘
                 0

                 t
                 ⌠   ┌                           ┐½
          L(t) = │ b∙│ cos²(a²∙t²) + sin²(a²∙t²) │ ∙dt = b∙t  ,     (15)
                 ⌡   └                           ┘
                 0

          ┌────────────┐
          │ L(t) = b∙t │
          └────────────┘  .

      Die Länge der Klothoide ist also proportional zum Kurvenparameter,
      sie hängt offenbar nicht vom Parameter a ab.

      Die Krümmung K einer Kurve W(t) ist gegeben durch:

              ┌                  ┐½
              │ .2 ..2    . .. 2 │
              │ W ∙W   - (W∙W )  │
          K = │ ──────────────── │                                  (16)
              │      ┌ .2 ┐3     │
              │      │ W  │      │
              └      └    ┘      ┘   .

      Für die Krümmumg der Klothoide gilt daher:

                ┌            ┐                   ┌             ┐
          .     │ cos(a²∙t²) │     ..            │ -sin(a²∙t²) │
          W = b∙│            │  ,  W  = 2∙b∙a²∙t∙│             │ ,  (17)
                │ sin(a²∙t²) │                   │  cos(a²∙t²) │
                └            ┘                   └             ┘

          .2    2   ..2      2  4  2    . ..
          W  = b ,  W   = 4∙b ∙a ∙t  ,  W∙W  = 0  ,                 (18)

      und daher:

          ┌──────────────────────────┐
          │ K = 2∙a²∙t/b = 2∙L∙a²/b² │                              (19)
          └──────────────────────────┘ .

      Die Krümmung der Klothoide ist also proportional, der
      Krümmungsradius R ≡ 1/K umgekehrt proportional zur ihrer Länge.