Koordinatenbestimmung von Objekten mit bekannten Anhaltsternen
        ▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀
                          und bekannter Plattenmitte
                          ▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀

      Wir betrachten eine Einheitskugel (=Himmelsphäre) mit den
      Winkelkoordinaten α (=Rektaszension) und δ (=Deklination), so daß
      ein Punkt (=Stern) der Kugeloberfläche durch Einheitsvektoren
      folgender Art beschrieben wird (kartesische Koordinaten mit
      Kugelmitte als Ursprung):

                       ┌               ┐
                       │ cos(α)∙cos(δ) │
          E = E(α,δ) = │ sin(α)∙cos(δ) │
                       │     sin(δ)    │
                       └               ┘   .

      Wir beschreiben ebenso in Vektorschreibweise (Großbuchstaben:
      Vektor oder Matrix) mit Hilfe der Kugelkoordinaten α,δ die
      folgenden Größen (dabei haben wir eine Tangentialebene an die
      Kugel gelegt):

                            ┐
          Plattenmitte bzw. │                   ┌                 ┐
          Tangentialpunkt   │                   │ cos(αo)∙cos(δo) │
          (=Berührungspunkt ├ :  M = M(αo,δo) = │ sin(αo)∙cos(δo) │
          der Tangential-   │                   │     sin(δo)     │
          ebene an Kugel)   │                   └                 ┘ ,
                            ┘

                                              ┌               ┐
                                              │ cos(α)∙cos(δ) │
          Stern auf Kugel     :  S = S(α,δ) = │ sin(α)∙cos(δ) │
                                              │     sin(δ)    │
                                              └               ┘   .

      Einheitsvektoren auf der Tangentialebene vom Mittelpunkt der Ebene
      bis zu einem Punkt (X,Y) der Ebene in α- und δ-Richtung:

                                                  ┌          ┐
          Einheitsvektor in                       │ -sin(αo) │
          α-Richtung          :  Ex = Ex(αo,δo) = │  cos(αo) │
                                                  │    0     │
                                                  └          ┘  ,

                                                  ┌                  ┐
          Einheitsvektor in                       │ -cos(αo)∙sin(δo) │
          δ-Richtung          :  Ey = Ey(αo,δo) = │ -sin(αo)∙sin(δo) │
                                                  │      cos(δo)     │
                                                  └                  ┘ ,

      dabei gilt, daß Ex auf Ey, Ex auf M und Ey auf M senkrecht stehen.
      Ex und Ey definieren zugleich das
      Tangentialebenenkoordinatensystem.

      Verlängern wir den Sternvektor S bis er auf die Tangentialebene
      trifft, so erhalten wir den Vektor St.  Der Winkel d zwischen M
      und St ist identisch gleich dem Winkel zwischen M und S.  Folgende
      Beziehungen haben wir daher:

          cos(d) = (M∙S) ,  da │M│ = │S│ = 1  ,  und

                    │M│                S        S
          cos(d) = ────  bzw.   St = ────── = ─────   .
                   │St│              cos(d)   (M∙S)

      cos(d) ist also durch M und S bekannt, damit also auch St.

      Die Koordinaten xs,ys des Sterns in der Tangentialebene (=Platte)
      erfüllen die Gleichung:

                                     1
          xs∙Ex + ys∙Ey = St - M = ─────∙S - M   .
                                   (M∙S)

      Schreiben wir die linke Seite mit der Matrix F = [Ex,Ey] und dem
      Vektor T der Tangentialebenenkoordinaten:

              ┌    ┐
              │ xs │
          T = │    │
              │ ys │
              └    ┘    ,

      so können wir folgende Matrizengleichung aufschreiben:

          F ∙ T = (S/(M∙S) - M)  .

      Die Lösung dieser Gleichung erhält man, wenn von links mit der
      Transponierten F' zu F multipliziert wird.  Da F'∙F nämlich eine
      2x2-Einheitsmatrix ist (Ex senkrecht Ey), erhält man also:

          T = F'∙(S/(M∙S) - M) = F'∙S/(M∙S) - F'∙M  .

      Da ferner

                 ┌        ┐   ┌   ┐
                 │ (Ex∙M) │   │ 0 │
          F'∙M = │        │ = │   │ (wegen Ex,Ey senkrecht M) ,
                 │ (Ey∙M) │   │ 0 │
                 └        ┘   └   ┘

      folgt schließlich:

                1
          T = ─────∙F'∙S     mit
              (M∙S)

                 ┌                                            ┐
                 │  cos(δ)∙sin(α-αo)                          │
          F'∙S = │                                            │
                 │ -cos(δ)∙cos(α-αo)∙sin(δo) + sin(δ)∙cos(δo) │
                 └                                            ┘

      und

          (M∙S) = cos(δ)∙cos(δo)∙cos(α-αo) + sin(δ)∙sin(δo)  ,

      T ist dabei in Einheiten der Einheitskugel gegeben.

      Zur Bestimmung von Koordinaten α,δ unbekannter Objekte auf der
      Platte wird nun folgendermaßen vorgegangen:

          1) Messung der Plattenkoordinaten x,y aller interes-
             sierenden Objekte auf der Platte, also sowohl der
             mindestens drei Anhaltsterne (mit gut bekannten
             α- und δ-Koordinaten) als auch der Objekte, für die
             α,δ zu bestimmen sind.

          2) Zu bekannter Plattenmitte αo,δo (=Tangentialpunkt)
             werden nach obigen Gleichungen die Tangential-
             ebenenkoordinaten xs,ys der Anhaltsterne berechnet.

          3) Da bei der Vermessung auf der Platte die Meßwerte
             x,y sich nicht auf das Ex,Ey-System der Tangen-
             tialebene beziehen, wird eine lineare Trans-
             formation x,y -> x˜͂,y˜͂ durchgeführt, mit der auch
             Verzerrungen und Verdrehungen sowie eine konstante
             Verschiebung berücksichtigt werden.  Haben wir
             ka ≥ 3 Anhaltsterne, so sehen die Transformations-
             gleichungen folgendermaßen aus:

             ┌     ┐   ┌                         ┐   ┌    ┐   ┌      ┐
             │ x˜͂1 │   │ 1   x1  y1  0   0   0   │   │ a1 │   │ v1   │
             │ y˜͂1 │   │ 0   0   0   1   x1  y1  │   │ a2 │   │ .    │
             │   . │   │ .   .   .   .   .   .   │   │ a3 │   │ .    │
             │   . │ = │ .   .   .   .   .   .   │ ∙ │ a4 │ + │ .    │
             │   . │   │ .   .   .   .   .   .   │   │ a5 │   │ .    │
             │ x˜͂ka│   │ 1   xka yka 0   0   0   │   │ a6 │   │ .    │
             │ y˜͂ka│   │ 0   0   0   1   xka yka │   └    ┘   │ v2ka │
             └     ┘   └                         ┘            └      ┘

          4) Das Gleichungssystem läßt sich mit einer Aus-
             gleichsrechnung nach den in diesem Fall sechs
             sog.  Plattenkonstanten a1, .., a6 auflösen.
             Nun können über die bekannten a1, .., a6 für
             weitere Objekte, für die ja die x,y gemessen
             wurden, die Tangentialebenenkoordinaten xs,ys
             bestimmt werden.

          5) Da xs∙Ex + ys∙Ey = St - M , ist St = M + xs∙Ex + ys∙Ey,
             und damit schließlich:

                        ┌    ┐   ┌               ┐
                  St    │ sx │   │ cos(α)∙cos(δ) │
             S = ──── = │ sy │ = │ sin(α)∙cos(δ) │
                 │St│   │ sz │   │     sin(δ)    │
                        └    ┘   └               ┘  ,

             so daß

             α = ATAN2(sy,sx)
             δ = ASIN (sz)    .