Strahlungsintensität eines homogen und isotrop strahlenden
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transparenten Kugelvolumens als Funktion des Abstandes
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Betrachten wir eine im Zentrum eines xyz-Systems gelegene Kugel
mit Radius R. Es soll in einem Punkt außerhalb der Kugel im
Abstand zo vom Kugelmittelpunkt die Intensität I bestimmt werden,
mit der Intensität I ist hier die Strahlungsleistung dN pro
Flächenelement dσ (tangential zur Kugelfläche) gemeint. Das
Ergebnis ist wegen der Kugelsymmetrie bekannt: die gesamte im
Kugelvolumen V erzeugte Leistung durchströme eine zentrisch um die
Kugel gelegte Kugelfläche (Radius zo, Kugelfläche σ = 4∙π∙zo²),
das Verhältnis von Leistung N zu Fläche σ ist dann (mit ε als
spezifischer Volumenleistung, ε = dN/dV):
┌───────────────────────────────────────┐
│ 3 3 │
│ dN N V (4/3)∙π∙R R │
│ ── = ─ = ε∙─ = ε∙────────── = ε∙───── │
│ dσ σ σ 2 2 │
│ 4∙π∙zo 3∙zo │
└───────────────────────────────────────┘ .
Obwohl also für eine Kugel das Ergebnis bekannt ist, soll hier
durch Integration über das Kugelvolumen die Intensität bestimmt
werden. Diese Methode ist nämlich für beliebige Volumen anwendbar,
und die Kugel ist wegen der geschlossenen Integrierbarkeit und zum
Vergleich mit dem obigen Ergebnis dafür besonders gut geeignet.
Der Aufpunkt zo, in dem die Intensität aus der homogen und isotrop
strahlenden transparenten Kugel empfangen wird, liege auf der
z-Achse, und es sei zo ≥ R. Wir benutzen Kugelkoordinaten r,Θ,Φ
mit Θ als Winkelabstand vom 'Nordpol' (x=0,y=0,z=R) von 0 bis π.
Ein Punkt in der Kugel bei r,Θ,Φ hat vom Aufpunkt zo den Abstand
┌ ┐½
r' = │zo²+r²-2∙zo∙r∙cos(Θ)│ ,
└ ┘
ein Volumenelement dV der Kugel hat in Kugelkoordinaten die Größe
dV = r²∙sin(Θ)∙dr∙dΘ∙dΦ .
Sei ε die spezifische Strahlungsleistung, also die Leistung, die
pro Volumenelement dV in der Kugel freigesetzt wird. Die
Strahlungsleistung, die von dV ins Raumwinkelelement dΩ gesandt
wird, ist dann:
dΩ
dN = ε∙dV∙─── .
4∙π
Vom Ort des Volumenelementes dV wird statt der Empfangsfläche
dσ aber nur
dσ' = dσ∙cos(α)
gesehen. Zum Winkel α: wenn wir das aus den Geraden der Längen
zo, r' und r gebildete Dreieck betrachten, dann ist α der Winkel,
der durch die Geraden der Längen zo und r' gebildet wird, Θ ist
der Winkel, der durch die Geraden der Längen zo und r gebildet
wird, und daher gilt:
zo - r∙cos(Θ)
cos(α) = ─────────────── .
r'
Die auf der Empfangsfläche dσ eintreffende Strahlungsleistung dN
ist dann:
dσ' dσ∙cos(α)
dN = ε∙dV∙───────── = ε∙dV∙────────── ,
2 2
4∙π∙r' 4∙π∙r'
so daß wir vom Volumenelement dV der Kugel den Intensitätsanteil
erhalten:
dN zo - r∙cos(Θ)
── = ε∙dV∙ ─────────────── ,
dσ 3
4∙π∙r'
dN zo - r∙cos(Θ)
── = ε∙dV∙ ─────────────────────────────── .
dσ ┌ ┐3/2
4∙π∙│zo²+r²-2∙zo∙r∙cos(Θ)│
└ ┘
Die gesamte Intensität erhalten wir dann durch Integration über
das Kugelvolumen:
2π π R
dN ⌠ ⌠ ⌠ (zo-r∙cos(Θ))∙r²∙sin(Θ)∙dr∙dΘ∙dΦ
── = ε∙ │ │ │ ──────────────────────────────── .
dσ ⌡ ⌡ ⌡ ┌ ┐3/2
Φ=0 Θ=0 r=0 4∙π∙│zo²+r²-2∙zo∙r∙cos(Θ)│
└ ┘
Wir können sogleich über Φ integrieren und erhalten mit der
zusätzlichen Substitution u = cos(Θ), du = -sin(Θ)∙dΘ:
R u=1
dN ε ⌠ ⌠ (zo-r∙u)∙du
── = ─∙ │ r²∙ │ ──────────────────────∙dr .
dσ 2 ⌡ ⌡ ┌ ┐3/2
r=0 u=-1 │zo²+r²-2∙zo∙r∙u│
└ ┘
u=1
R ┌ ┐
dN ε ⌠ │ u∙zo - r │
── = ─∙ │ r²∙│ ────────────────────── │∙dr ,
dσ 2 ⌡ │ ½ │
r=0 └ zo²∙(zo²+r²-2∙r∙zo∙u) ┘
u=-1
R 2
dN ⌠ r ∙dr
── = ε∙ │ ───── ,
dσ ⌡ 2
r=0 zo
┌──────────────┐
│ 3 │
│ dN R │
│ ── = ε∙───── │
│ dσ 2 │
│ 3∙zo │
└──────────────┘ .
Interessant ist der Grenzfall auf der Kugeloberfläche, d.h., wenn
wir zo = R setzen, man erhält:
dN R
── = ε∙─── ,
dσ 3
die Gesamtleistung N der Kugel erhält man dann, wenn man diesen
Ausdruck mit der Kugeloberfläche 4∙π∙R² multipliziert:
3
4∙π∙R
N = ε∙───── ,
3
das ist, wie zu erwarten, das Kugelvolumen mit der spezifischen
Volumenleistung multipliziert.